Harita projeksiyonları ve yön: Mercator neden yanıltıyor

Duvardaki dünya haritasına bakıp yön tahmin etmek, çoğu insanın yaptığı ilk şey. Ve çoğu zaman yanıltıyor. Sebep haritanın kötü olması değil; küreyi düzleme açmanın matematiksel olarak imkânsız olması.

İmkânsızlık teoremi

Bir küre yüzeyi, hiçbir şeyi bozmadan düzleme açılamaz. Bu bir mühendislik sınırı değil, geometrik bir gerçek: kürenin ve düzlemin eğrilikleri farklıdır ve aralarında mesafeleri koruyan bir eşleme kurulamaz.

Portakalın kabuğunu tek parça hâlinde masaya yapıştırmaya çalışmak gibi. Ya yırtılır ya buruşur. Her harita projeksiyonu bu kaçınılmaz bozulmayı nereye yığacağını seçer.

Seçenekler genellikle şunlar: açıları koru, alanları koru, mesafeleri belirli doğrultularda koru, ya da hepsinden biraz ödün verip dengeli bir görünüm üret. Aynı anda hepsini korumak mümkün değil.

Mercator açıyı korur

Web haritalarının neredeyse tamamı Mercator projeksiyonunun bir türevini kullanır. Mercator açıları korumayı seçer; yani haritadaki iki çizgi arasındaki açı, yeryüzündeki gerçek açıya eşittir. Bu özelliğe konformallık denir.

Bunun bedeli alanlarda ödenir. Kutuplara doğru gidildikçe ölçek büyür, bu yüzden Grönland Afrika kadar büyük görünür — gerçekte Afrika'nın on dördü kadardır. Aynı sebeple Rusya ve Kanada abartılı biçimde geniş, ekvator çevresindeki ülkeler ise küçük görünür.

Mercator'un seçilme sebebi denizcilik. Açılar korunduğu için, sabit pusula açısıyla gidilen yol — loksodrom — bu haritada düz bir çizgi olarak görünür. Bir denizci iki nokta arasına cetvel dayayıp açıyı okuyabilir ve o açıyı sabit tutarak hedefe varabilir. Yüzyıllar boyunca bu, paha biçilmez bir kolaylıktı.

Ama en kısa yol düz değil

İşte kıbleyi ilgilendiren kısım. Loksodrom Mercator'da düz görünür ama en kısa yol değildir. Yeryüzündeki en kısa yol büyük daire yayıdır ve o yay Mercator'da eğri görünür.

Yani haritada cetvelle bulacağınız yön, kıble için doğru olan yön değil. Kısa mesafelerde iki yöntem neredeyse aynı sonuç verir; uzun mesafelerde ciddi biçimde ayrışır.

Ayrışmanın büyüklüğü mesafe ve enlemle artar. Türkiye içinde fark bir derecenin altında kalır. Berlin'den Mekke'ye bakarken fark ölçülebilir düzeydedir. Kuzey Amerika'da ise dramatik hâle gelir.

Kuzey Amerika örneği

Hesaplarımıza göre New York için kıble, büyük daire yöntemiyle 58,4 derece — yani doğu-kuzeydoğu. Loksodrom yöntemiyle ise 101,3 derece, yani neredeyse tam doğu. Aradaki fark kırk üç derece.

Batı kıyısında uçurum daha da büyük. San Francisco için büyük daire 18,8 derece (kuzey-kuzeydoğu), loksodrom 96,6 derece — yaklaşık seksen derecelikfark. Los Angeles'ta durum benzer: 23,8 dereceye karşı 95,2 derece.

Duvardaki haritaya bakan biri Mekke'yi güneydoğuda görür ve kıblenin de o yönde olduğunu düşünür. Doğru cevap kuzeydoğudur, çünkü yeryüzündeki en kısa yol Atlantik'in kuzeyinden geçer. Kuzey Amerika'daki camilerin mihrapları da kuzeydoğuya bakar.

Uçak rotaları aynı şeyi gösterir

Uçuş haritalarında rotaların kuzeye doğru kıvrıldığını görürsünüz. Bu bir tercih ya da hava koridoru zorunluluğu değil, doğrudan en kısa yolun kendisi. Aynı rotayı bir küre üzerinde çizseniz tamamen düz olurdu.

Yani "haritadaki kıble çizgisi neden eğri?" sorusuyla "uçak neden kuzeye kıvrılıyor?" sorusunun cevabı aynı.

Neden hâlâ Mercator kullanıyoruz

Kıble hattını çizerken Mercator'u seçmedik; web harita altyapısının tamamı bu projeksiyonda çalışıyor. Karo sistemleri, zoom seviyeleri ve koordinat dönüşümleri Mercator üzerine kurulu.

Ama önemli bir ayrım var: hesabı projeksiyonla yapmıyoruz. Kıble açısı doğrudan elipsoidal geometriyle hesaplanıyor; projeksiyon yalnızca sonucu göstermek için devreye giriyor. Yani haritadaki eğrilik bir hata değil, doğru sonucun bozulmuş bir yüzeye çizilmiş hâli.

Harita sayfamızda loksodrom düğmesini açarak iki hattı yan yana görebilirsiniz: mor hat büyük daire, kesikli mavi hat sabit pusula açısı. Kısa mesafede üst üste binerler, uzun mesafede ayrılırlar.

Ana sayfadaki dünya haritası bölümündehazır şehirlere dokunarak eğriliğin nasıl değiştiğini de deneyebilirsiniz. İstanbul'dan bakınca hat neredeyse düz; New York'tan bakınca belirgin biçimde kıvrılıyor. Aynı matematik, farklı coğrafya.